1. 引言
无论在学术界，还是在工业界，Logistic Regression(LR, 逻辑回归)模型[1]是常用的分类模型，被用于各种分类场景和点击率预估问题等，它也是Max Entropy(ME, 最大熵)模型[2]，或者说Softmax Regression模型[3]，在二分类的一种特例。
用\(X\ =\ (x_1, x_2, …, x_k)\)表示k维样本，用\(\mathbf{\beta} = (\beta_0, \beta_1, \beta_2, …, \beta_k)\)表示k+1维模型变量，其中\(\beta_0\)表示截距项，那么LR模型的model function如下表示：
\begin{equation}\mathbf{f}(z) = \frac 1{1 + e^{-z}}\end{equation}
\begin{equation}z = \beta_0 + \beta_1 \times x_1 + \beta_2 \times x_2 + … + \beta_k \times x_k\end{equation}
说明：公式1的学名为logistic function。
下文将先介绍odds和log of odds，然后用odds来解释LR模型的参数含义。
2. 从概率到odds再到log of odds
在统计和概率理论中，一个事件的发生比（英语：Odds[4]）是该事件发生和不发生的比率。假设某随机事件发生的概率是0.8，那么该事件不发生的概率为1 - 0.8 = 0.2。事件发生的odds定义成发生的概率除以不发生的概率，对这个例子即为 0.8 / 0.2 = 4。用数学式子形式化表示odds，就是\(\frac p{1 - p} \)。为下文表述方便，用函数\(odds(p)\)表示如下：
\begin{equation}odds(p) = \frac p{1 - p}\end{equation}
易见函数odds(p)是关于p的递增函数。
对odds取对数(成为log of odds)，也就是\(log\frac p{1 - p}\)，这个在正式的数学文献中会记为\(logit(p)\)，即：
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p})\end{equation}
易见函数log_of_odds(p)还是关于p的递增函数。
当有2个概率\(p_1\)和\(p_2\)，将这2个概率的odd相除（称为odds ratio），等价于将这2个概率的logit相减。
3. 从odds角度理解LR模型参数
对于LR模型而言，LR模型的输出值是概率，介于0到1之间。容易推导出LR模型对应的\(odds(p)\)和\(logit(p)\)的函数表达形式，分别见公式5和公式6，其中公式6恰好就是公式2中的z：
\begin{equation}odds(p) = e^{\beta_0 + \beta_1 \times x_1 + \beta_2 \times x_2 + … + \beta_k \times x_k}\end{equation}
\begin{equation}logit(p) = \beta_0 + \beta_1 \times x_1 + \beta_2 \times x_2 + … + \beta_k \times x_k\end{equation}
文章[5], [6]是两份解释LR模型参数的非常好的资料，读者可以详细阅读。文章[5]中给了一个数据集，针对这个数据集做了5组特征实验。这些实验很有代表性，笔者就用它们来阐述odds与LR模型参数之间的关系。
3.1 第1个实验
k = 0，即LR模型不用任何特征，只留下截距项，通过参数训练得到的模型为
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p}) = -1.12546\end{equation}
公式7中的p表示什么概率呢？容易分析出它表示的正是正样本个数占全部样本个数的比例（或者说概率）。可以这样验证，数据集中正样本的比例为\(\frac {49}{200} = 0.245\)，\(log\frac {0.245}{1-0.245} = -1.12546\)。在k = 0时，截距项恰好是正样本比例对应的log of odds。
3.2 第2个实验
LR模型只带一个二值特征（是否为女性），通过参数训练得到的模型为
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p}) = -1.470852 + 0.5927822 \times \mathbf{female}\end{equation}
公式8中的\(\beta_0(-1.470852)\)表示非女性（即男性）的正样本的log of odds。同样可以用数据验证，数据集中男性正样本比例为\(\frac {17}{17+74}\)，男性正样本的log of odds即为\(log\frac {17}{74} = -1.47\)。
公式8中的\(\beta_1(0.5927822)\)表示女性的正样本的log of odds 减去 男性的正样本的log of odds。因为
\begin{equation}\beta_1 = (-1.470852 + 0.5927822 \times 1) - (-1.470852 + 0.5927822 \times 0)\end{equation}
同样可以用数据验证，数据集中女性正样本的log of odds为\(log\frac {32}{77} = -0.878\)，男性正样本的log of odds为\(log\frac {17}{74} = -1.471\)。这两个log of odds相减即得0.593，正是\(\beta_1\)。
3.3 第3个实验
LR模型只带一个连续特征（数学成绩），通过参数训练得到的模型为
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p}) = -9.793942 + 0.1563404 \times \mathbf{math}\end{equation}
公式10中的\(\beta_0(-9.793942)\)按理应该表示数学成绩为0的正样本的log of odds。基于这点还原出数学成绩为0的正样本的概率为0.00005579，这是一个很小的数。但从数据集上看，没有一个人的数学成绩小于30。所以截距项在这里表示的是假想数学成绩为0的正样本的log of odds。
公式10中的\(\beta_1(0.1563404)\)表示数学成绩每提高1分，正样本的log of odds会提升多少，或者说在数学成绩这个维度，对log of odds进行差分。因为
\begin{equation}\beta_1 = (-9.793942 + 0.1563404 \times (score + 1)) - (-9.793942 + 0.1563404 \times score)\end{equation}
这是2个log of odds相减，等价于对odds ratio取log。更进一步，还原回到odds ratio，即exp(0.1563404) = 1.1692241。这个可以理解为数学成绩每提高1分，正样本的odds将提高17%。
3.4 第4个实验
LR模型带多个非组合的特征（数学成绩，是否为女性，阅读方面的成绩），通过参数训练得到的模型为
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p}) = -11.77025 + 0.1229589 \times \mathbf{math} + 0.979948 \times \mathbf{female} + 0.0590632 \times \mathbf{read}\end{equation}
对拟合出的公式12，female特征的系数表示：固定math和read的取值，女性正样本的odds除以男性正样本的odds的比值为exp(0.979948) = 2.66。math特征的稀疏表示：固定female和read的取值，数学成绩每提高1分，正样本的odds将提高13%，因为exp(0.1229589) = 1.13。
3.5 第5个实验
LR模型带组合特征（是否为女性，数学成绩和前两个特征的组合），通过参数训练得到的模型为
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p}) = -8.745841 - 2.899863 \times \mathbf{female} + 0.1293781 \times \mathbf{math} + 0.0669951 \times \mathbf{female} \times \mathbf{math}\end{equation}
因为\(\mathbf{female} \times \mathbf{math}\)是一项组合特征，这样就不好直接讨论\(\mathbf{female}\)的效果。但可以做变换得到2个公式，一个关于男性的公式：
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p}) = -8.745841 + 0.1293781 \times \mathbf{math}\end{equation}
另一个关于女性的公式：
\begin{equation}logit(p) = log(\frac p{1 - p}) = -8.745841 - 2.899863 + 0.1293781 \times \mathbf{math} + 0.0669951 \times \mathbf{math} = -11.645704 + 0.1963732 \times \mathbf{math}\end{equation}
在公式14和公式15中就没有组合特征，那么就可以走类似于上面几组实验的分析思路，对于男性，数学成绩每提高1分，正样本的odds将提高14%（因为exp(0.1293781) = 1.14）。对于女性，数学成绩每提高1分，正样本的odds将提高22%（exp(0.1963732) = 1.22）。
4 总结
上文从odds角度，通过几个例子给出了分析LR模型参数的方法，读者可以举一反三，碰到其他LR模型时也可以用类似的思路去分析参数的含义。特别的，对于截距项，通过这些例子也可以看出，截距项并不都等于正样本比例的log of odds，除了k = 0这种情形外，其他情形下就不能这样解释了。另外有些情况下讨论截距项的物理含义是没有意义的，读者可以看看文章[7]。
参考文献
[1] Logistic Regression (来自Wikipedia)
[2] Max Entropy (来自Wikipedia)
[3] Softmax Regression 或者 Multinomial Logistic Regression (来自Wikipedia)
[4] Odds（来自Wikipedia）
[5] How do I interpret odds ratios in logistic regression (来自UCLA的一份资料)
[6] Interpreting logistic regression models (来自USC的一份资料)
[7] Regression Analysis: How to Interpret the Constant (Y Intercept)
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